Phone: (+351) 217904925
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de Lisboa
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1649-003 Lisboa, Portugal
Professor at Departamento
de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade
de Lisboa
Agregação em Matemática: Universidade de Lisboa (1990).
Coordinator
of CMAF
Editor of Portugaliae Mathematica (1981-2007), Applied Mathematics E-Notes
(2007-)
Research Interests: Differential equations, nonlinear functional analysis.
Reviewer of
Zentralblatt fur Mathematik and Mathematical Reviews.
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Links
Sociedade Portuguesa de Matemática
Portuguese Directory of Mathematicians
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TOPICS IN DIFFERENTIAL EQUATIONS
A CYCLE OF CONFERENCES AT CMAF (2005)
REANIMAT
(2001-2004) Um projecto de textos de Matemática para o Ensino Secundário http://cmaf.ptmat.fc.ul.pt/~armac/Reanimat/index.html
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SOME RECENT
PUBLICATIONS
A. Gavioli and L. Sanchez, Heteroclinics for
non-autonomous second order differential
equations, Differential and Integral Equations 22,
999-1018 (2009).
R. Enguiça and L. Sanchez, A second order
non-autonomous problem on the half-line:
a variational approach, in Mathematical models
in Engineering, Biology and Medicine,
AIP Conference Proceedings, Melville 2009, A.
Cabada, E. Liz and J. J. Nieto (eds.), 119-128.
A.
Gavioli and L. Sanchez, On a class of
bounded trajectories for some non-autonomous
Systems, Mathematische Nachrichten 281 (2008), 1521 - 1671
R. Enguiça and L. Sanchez, A
nonlocal maximum principle and applications,
Communications in Applied Nonlinear Analysis, Volume 15 (2008),
Number 1, 1–17.
P.
Habets and L. Sanchez, A monotone method for fourth order boundary value
problems involving a factorizable linear operator, Portugaliae Mathematica 64
(2007), 255-279.
Ricardo Enguica, Luis
Sanchez; Existence
and localization of solutions for fourth-order boundary-value problems,
Electr. J. Diff. Equations Vol.
2007(2007), No. 127 pp. 1-10.
J. Angel Cid, A.
Cabada and L. Sanchez, Positivity
and lower and upper
solutions for fourth order boundary value problems, Nonlinear Analysis
Series A: Theory, Methods & Applications 67 (2007) 1599–1612.
D.
Bonheure and L. Sanchez, Heteroclinic orbits for some classes of second and
fourth order differential equations, Handbook of Differential Equations:
Ordinary Differential Equations, vol. 3, A. Cañada, P. Drabek, a. Fonda,
editors, Elsevier (2006).
R. Enguiça and L.
Sanchez, Radial solutions for a non-local boundary value problem, Boundary
Value Problems, 2006, Art. ID 32950, 18
pp.
D. Bonheure, J. M.
Gomes and L. Sanchez, Positive
solutions of a second order singular ordinary differential equation,
Nonlinear Analysis T.M.A 61 (2005), 1383-1399.
J. M. Gomes and L.
Sanchez, On a variational approach to some non-local boundary
value problems, Applicable Analysis 84 (2005), 909-925.
D. Bonheure, P. Habets
and L. Sanchez, Heteroclinics for fourth order symmetric bistable equations,
Atti del Seminario Matematico e Fisico dell’Università di
Modena e
Reggio Emilia, LII, (2004) 213-227.
M. R. Grossinho, L. Sanchez and
S. A. Tersian, On the solvability of a boundary value problem for a 4th
order ordinary differential equation, Applied Mathematics Letters 18 (4) 2005,
439-444.
J. M. Gomes and L.
Sanchez, A variational approach to some boundary value problems in the
half-line, Z.angew.Math.Phys. 56 (2005) 192-209.
M.
Arias, J. Campos, A. Robles Pérez and L. Sanchez, Fast and
heteroclinic solutions for a second order ODE related to the
Fisher-Kolmogorov’s equation, Calculus of Variations and Partial Differential
Equations, 21 (2004), 319-334.
A. Cabada and L.
Sanchez, Second Order Singular Periodic Problems in Presence of Dry Friction,
Proc. Amer. Math. Society 131, 2137-2144 (2003).
D. Bonheure, L. Sanchez,
M. Tarallo and S. Terracini, Heteroclinic connections between nonconsecutive
equilibria of a fourth order differential equations, Calculus of Variations and Partial
Differential Equations 17, 341-356 (2003).
J. Chaparova and L.
Sanchez, A variational approach for a generalized Emden-Fowler equation,
Applicable Analysis 82, 1003-1016 (2003).
J. Ángel Cid and L.
Sanchez, Periodic solutions for second
order differential equations with discontinuous restoring forces, J. Math. Anal.
Appl. 288 (2003), 349-364.
Recent teaching
Equações
Diferenciais (2009-2010)
ELEMENTOS DE GEOMETRIA
(mestrado em Matemática para Professores)
1.
Axiomática de Birkhoff. Separação do plano. Perpndicularidade e paralelismo.
Semelhança e congruência de triângulos. Circunferência e ângulos com ela
relacionados. Rectas e pontos notáveis para um triângulo. Teoremas de Ceva e
Menelau. Teorema de Apolónio. Teorema de nove pontos. Relações métricas
envolvendo triângulos e circunferências. Área.
2.
Construções com régua e compasso.
3. Aspectos
analíticos da geometria do triângulo e da circunferência: lei dos senos, lei
dos cosenos, fórmula de Herão e relações onde intervém o raio da circunferência
inscrita.
4. Conceitos
e propriedades fundamentais na Geometria no Espaço: incidência,
perpendicularidade e paralelismo. Ângulos diédricos.
5.
Comprimento de arco e área de um sector circular. O número π. Referência ao método de exaustão. Extensão a volumes de
cilindros, cones e esfera.
5. Algumas
transformações geométricas do plano e do espaço: translações, rotações,
simetrias e homotetias. Polígonos regulares.
6. Inversão
em relação a uma circunferência no plano.
6. Poliedros
regulares. Sólidos platónicos.
7. Métodos
da Geometria Analítica. Referenciais, equações de rectas e planos. Equação
complexa da recta. Critério de semelhança entre triângulos cujos vértices são
números complexos. Critério de triângulo equilátero. Teorema de Morley. O
produto misto e o volume de alguns sólidos.
8. Modelos
do plano projectivo. Dualidade. Perspectividade e projectividade. Teorema de
Desargues. Quádruplos harmónicos. Quadriláteros e grupos quadrangulares.
9. Cónicas:
no plano euclidiano e no plano projectivo.
Bibliografia
1. James
T. Smith, Methods of Geometry, Wiley 2000.
2.
Birkhoff and Beatley, Basic Geometry, AMS 1959.
3. L.
Sanchez, Notas
para um curso de Geometria elementar, DMFCUL 2007.
4. P.
Ventura Araújo, Curso de Geometria, Gradiva 1999.
5. J. J. Dionísio, Fundamentos da Geometria,
Textos de Matemática, 18 (2004), Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências da Universidade de Lisboa.
6. E. Lages
Lima, Isometrias, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática - SBM,
1996.
7. A.
Machado, Texto de Geometria para o 10º Ano de escolaridade no âmbito do
projecto REANIMAT.
8. G.E.
Martin, Transformation Geometry,
9. H. S.
M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Math. Assoc. of
10. H. S.
M. Coxeter, Projective Geometry, Springer-Verlag,
11. J.
Roe, Elementary Geometry,
Datas de exame: 3
de Julho e 10 de Julho de 2008 às 16 h.
Os temas de
exame incidem sobre a parte da matéria incluída no texto L. Sanchez, Notas para um curso de Geometria elementar:
Teoremas 4,
caracterização de interior de ângulo (p. 13), 18, 22, 23, 24, 35, 36, 40, 49,
50, 51, 52, 65, 66, 75, 85, 100, 101.
Prpblemas
2.5, 2.10, 2.17, 2.18, 3.7, 3.8, 4.5, 4.13, 4.14*, 5.9, 5.10, 5.11, 5.22, 6.2,
6.3, 7.6, 9.5, 9.6, 9.9, 9.10.
SUMÁRIOS:
AULAS TEÓRICAS
21/02
Primeiros axiomas que envolvem pontos, rectas e escalas.
22/03
Distância módulo-T e medição de ângulos: o axioma das escalas angulares.
28/02
Teorema de separação do plano. Generalidades sobre ângulos e
perpendicularidade. Interior de ângulo.
29/02 Axioma
de semelhança LAL e primeiras consequências.
06/03
Semelhança e congruência em triângulos. A soma dos ângulos de um triângulo.
07/03 Teorema de Pitágoras. Teoremas de comparação.
13/03
Paralelismo, existência e unicidade da paralela, teoremas de proporcionalidade.
14/03
Quadriláteros. Circunferência, medida de arco. Ângulos relacionáveis com a
circunferência. Caracterização da bissectriz num triãngulo por meio de
proporcionalidade.
27/03
Circunferência de Apolónio.
28/03 Pontos
e rectas notáveis num triângulo.
03/04
Teoremas de Ceva e Menelau. Triângulo órtico
04/03 Recta
de Euler e circunferência de nove pontos.
10/04 Seno e
coseno. Propriedades métricas relativas a triângulos. Lei dos senos, lei dos
co-senos, fórmulas que envolvem os raios das circunferências inscrita e
circunscrita. Fórmula de Herão
11/04 Esboço
de uma teoria da área para regiões pologonais.
17/04
Axiomas para a Geometria no espaço. Teorema de separação
18/04
Perpendicularidade e paralelismo para rectas e planos. Plano mediador
24/04
Ângulos diédricos.
02/05 Bases
da geometria analítica: vectores e coordenadas.
08/05
Equações de rectas e planos
09/05
Apresentações feitas por alunos: Qudriláteros cíclicos. Triângulos de Napoleão.
15/05 Apresentação feita por alunos: Teorema de
Pappus e teorema da borboleta.
16/05
Apresentação feita por alunos: Teorema de Ptolomeu.
23/05
Apresentação feita por alunos: Teoema de Morley.
29/05
Geometria Analítica no Plano: técnicas que utilizam o corpo complexo. Demonstração analítica do Teorema de Morley.
30/05
Teorema de Euler sobre poliedros: ideia da demonstração.
05/06.
Extensão do plano euclidiano: plano projectivo. Perspectividades e
projectividades. Grupos harmónicos. Teorema de Desargues.
06/06.
Grupos quadrangulares. Involução.
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SEMINÁRIO DE MATEMÁTICA II – Funções reais
(Licenciatura em Ensino de Matemática)
2007/2008, 2º semestre
2º semestre de 2008
Tópicos:
-Expressões algébricas, polinómios, factorização
-Sucessões, progressões aritméticas e geométricas
-Desigualdades numéricas e algébricas
-Máximos e mínimos
-Pontos fixos e sucessões definidas por recorrência
Os alunos irão resolver na aula problemas relacionados com estes tópicos e posteriormente fazer exposições orais argumentadas sobre outra série de problemas.
Os problemas encontram-se na seguinte bibliografia
I. M.
Gelfand, A. Chen, Algebra, Birkhauser 1995.1
I. M.
Gelfand, E. G. Glagoleva, E. E. Shnol, Functions and Graphs, Birkhauser 1990.2
Steven G.
Kranz, Techniques of Problem Solving, Amer. Math. Soc. 1991.3
Dmitri
Fomin, Mathematical
Circles (Russian experience), Amer. Math. Soc. 1996. 4
Arthur
Engel, Problem-solving strategies, Springer 1998. 5
J. Herman,
R. Kucera, J. Simsa, Equations and inequalities, CMS Books in Mathematics,
Springer 2000.6
1 Secções 28-72.
2 Secção final (Problemas).
3 Capítulo 6 e Exercícios.
4 Capítulos 6, 10 e 16 e Exercícios.
5 Capítulos 6, 9 e 10 e Exercícios.
6 Capítulos 1 e 2.
